题目

题型：不详难度：来源：

（9分）如图，在半径为r的半圆⊙O中，半径OA⊥直径BC，点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合.

小题1:（1）求证  S_{四边形AEOF}＝；
小题2:（2）设AE＝x，S_△OEF＝y,写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围；
小题3:（3）当S_△OEF =S_△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长。

答案

小题1:略
小题2:(2) (0<r<r)
小题3:(3)； 

解析

小题1：证明：AE=CF，则BE=AF，又OB=OA，∠B=∠FAO（均为45°）所以△BOE≌△AOF
 则S_{四边形AEOF}= S_△ABC=
小题2：S_△OEF＝y=S_{四边形AEOF}- S_△AEF=-（r-x）x
   (0<r<r )
小题3：S_△OEF＝=S_△ABC=
解方程得：
=+ 将AE=及AF=r-AE带入式中即可求得
EF=
本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有三角形全等的证明，园的性质，用含x的式子表示线段的长度并根据几何图形的性质表示出面积之间的关系以及直角三角形的性质以及一元二次方程的实际运用等