题目

题型：不详难度：来源：

如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．

小题1:求经过A、B、D三点的抛物线的解析式
小题2:点P是第一象限内抛物线上一点，是否存在这样的点P，使得点P到直线CD的距离最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

 
小题1:∵直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴ A(-2, 0)、B(0, 4). …………1分
∵△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD
∴ C(0, 2)、D(4, 0) …………2分
∴ 过A、B、D的抛物线解析式为y= -x²+x+4…………4分
小题2:∵C(0, 2)、D(4, 0)
∴ 直线CD解析式为y= -x+2…………5分
设P(x, -x²+x+4)   (0＜x＜4)…………6分
作PE^x轴于E，交CD于Q,
则E(x, 0), Q(x, -x+2) …………7分
∴PQ=(-x²+x+4)-(-x+2)= -x²+x+2 …………8分
OE=x,   DE=4-x
∴S_△PCD=S_△PCQ+S_△PDQ=PQ·OE+PQ·DE=PQ·OD
=(-x²+x+2)×4= -x²+3x+4= - (x-)²+…………9分
∴当x=时，△PCD的面积最大，也即P到CD得距离最大。
∴存在点P，使得点P到直线CD的距离最大，此时P点的坐标为（，）
…………10分

解析

略