题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

小题1:求∠ACB的大小
小题2:写出A，B两点的坐标
小题3:由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；
小题4:在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

小题1:120°
小题2:A（1-  ，0），B（1+ ，0）
小题3:y=-x²+2x+2
小题4:点D的坐标是（0，2）

解析

解：（1）作CH⊥x轴于H，
∵CH=1，半径CB=2，
∴∠BCH=60°，
即∠ACB=120°．
（2）∵CH=1，半径CB=2，
∴HB= ，
∴A的坐标是（1-  ，0），B的坐标是（1+ ，0）．
（3）设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+3，
把点B（1+ ，0）代入上式，解得：a=-1，
∴y=-1（x-1）²+3=-x²+2x+2，
即抛物线的解析式是y=-x²+2x+2．
（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，
则四边形OCPD是平行四边形，
∴PC∥OD，PC=OD，
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上，
∵PC=2，
∴OD=2，
即D（0，2），
又D（0，2）满足y=-x²+2x+2，
∴点D在抛物线上，
∴存在D点，使线段OP与CD互相平分，且点D的坐标是（0，2）．