题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线经过及原点．
小题1:求抛物线的解析式．
小题2:过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形（如图）．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
小题3:如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？

答案

小题1:由已知可求得：抛物线的解析式为：
小题2:存在．设点的坐标为，则，要使，则有，即，解之得，．
当时，，即为点，所以得
要使，则有，即
解之得，，当时，即为点，
当时，，所以得．故存在两个点使得与相似．点的坐标为．（10分）
小题3:在中，因为．所以．
当点的坐标为时，．
所以．
因此，都是直角三角形．
又在中，因为．所以．
即有．
所以，又因为
，所以．（14分）

解析

（1）将已知的三点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可．
（2）可根据抛物线的解析式设出Q点的坐标，要使△OPC与△PQB相似，可分两种情况：
①△OCP∽△PBQ，此时∠COP=∠BPQ，，用Q点的坐标表示出BP、BQ的长，根据线段的比例关系式即可求出Q点的坐标．
②△OCP∽△QPB，此时∠CPO=∠BPQ，，方法同①
（3）根据（2）得出的Q点的坐标进行判断即可，注意运用正方形的性质和一些特殊角．