题目

题型：不详难度：来源：

已知如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于点B、O.

(1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标.
(2) 连结AB，平移AB所在的直线，使其经过原点O，得到直线.点是上一动点,当△的周长最小时，求点P的坐标.
（3）当△的周长最小时，在直线AB的上方是否存在一点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.（规定：点Q的对应顶点不为点O）

答案

（1），（4，4）(2) （2，-2）(3)存在，点坐标为（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4） 

解析

（1）∵点B与O（0，0）关于直线x=4对称,
∴点B坐标为（8，0）.
将点B坐标代入得：
64+16=0,
∴=.
∴抛物线解析式为.               2分
当=4时，,
∴顶点A坐标为（4，4）.                  2分
（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）
（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(4,4),B(8,0),
∴ 解得,  ∴.-
∵直线∥AB且过点O,
∴直线解析式为.
A关于直线的对称点是A₁（-4，-4），连接A₁B，则直线A₁B的函数关系式是

由 得交点P（2，-2）                         4分
(3)存在，点坐标为（8，16）、（20，4）（8,2）、（6,4）         4分
主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大