题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在直角坐标系中，抛物线:与轴交于点，以为一边向左侧作正方形上；如图2，把正方形绕点顺时针旋转后得到正方形（﹤﹤）﹒

（1）、两点的坐标分别为         、           ；
（2）当 tan﹦时，抛物线的对称轴上是否存在一点，使△为直角三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使△为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时tan的值；若不存在，请说明理由﹒

答案

解：(1) （－2，2），（0，2）    （各，共）
（2）存在﹒设旋转后的正方形的边交轴于点﹒

抛物线的对称轴交 与点,交轴于点﹒
由已知，∵∠∠，∴,
∴，即点是的中点﹒
①当点为直角顶点，显然与直线的交点即为所求﹒
由△∽△，可得点坐标为（－1，）； （）
②当点为直角顶点，显然射线与直线的交点即为所求﹒
由△易得点的坐标为（－1，－2）； （）
③当为斜边时，以为直径的圆与直线的交点即为所求，
∵的中点到直线的距离恰好等于1，∴以为直径的圆与直线的交点只有一个﹒又易得，∴点的坐标为（－1，）﹒ （）
故满足题设条件的点有三个：（－1，），（－1，），（－1，－2）﹒（3）
存在﹒显然在如图两种情况中的点、点符合条件﹒
由图1易得 =；   （）
由图2中△∽△可得=  （）
     
图1                        图2

解析

（1）本题需先根据题意抛物线与y轴交于点C的性质，得出x、y的值，即可求出B、C两点的坐标．
（2）首先根据题意判断出存在，再设旋转后的正方形OA1B1C1的边B1C1交y轴于一点，抛物线的对称轴交OA1与点，交x轴于点，得出∠AOA1=∠C1OD，在分三种情况分别得出P1，P2（-1， 5），P3的坐标，即可求出答案．
（3）首先判断出存在﹒根据图形得出P1点、P2点符合条件﹒由图1和图2分别得出tanα的值．