题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.

(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S_△PAB=8,并求出此时P点的坐标；
(3) 设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

(1) y=x²-2x-3(2) 当P点的坐标分别为、、(1,-4)时，S_△PAB="8." (3) 点Q的坐标为(1,-2)

解析

(1)∵抛物线y=x²+bx+c与轴的两个交点分别为A(-1,0)，B(3,0)
∴                ┄ 2分
解之，得                   ┄ 3分
∴所求抛物线的解析式为：y=x²-2x-3 ┄ 4分
(2)设点P的坐标为(x,y)，由题意，得
S_△ABC=×4×|y|=8                 ┄ 5分
∴|y|=4， ∴ y=±4                ┄ 6分
当y=4时， x²-2x-3=4   ∴ x₁=1+, x₂=1-              ┄ 7分
当y=-4时，x²-2x-3=-4  ∴ x=1                              ┄ 8分
∴当P点的坐标分别为、、(1,-4)时，S_△PAB="8." ┄ 9分
(3) 解法1：
在抛物线y=x²-2x-3的对称轴上存在点Q, 使得ΔQAC的周长最小.   ┄ 10分
∵AC长为定值，∴要使ΔQAC的周长最小，只需QA+QC最小.
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0),
抛物线y=x²-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3)
∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点             ┄ 11分
设直线BC的解析式为y=kx-3.
∵直线BC过点B(3,0) ∴ 3k-3=0 ∴ k=1.
∴直线BC的解析式为  y=x-3                                  ┄ 12分
∴当x=1时，y=-2.
∴点Q的坐标为(1,-2).                                       ┄ 13分
(3) 解法2：
在抛物线y=x²-2x-3的对称轴上存在点Q ，使得ΔQAC的周长最小.  ┄ 10分
∵AC长为定值，∴要使ΔQAC的周长最小，只需QA+QC最小
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0),
抛物线y=x²-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3)
∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点.             ┄ 11分
∵OC∥DQ,
∴ΔBDQ∽ΔBOC.
∴，即 .            ┄ 12分
∴DQ=2. ∴点Q的坐标为(1,-2).                              ┄ 13分
（1）已知了抛物线过B、C两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式．
（2）根据（1）中得出的抛物线的解析式，可求得A点的坐标，也就能得出AB的长．△PAB中，AB的长为定值，那么可根据△PAB的面积求出P到AB的距离，即P点纵坐标的绝对值，然后将其代入抛物线的解析式中（分正负两个值）即可求出P点的坐标．
（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC，直线BC与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．