题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，二次函数y=a(x+1)²－4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y=a(x+1)²－4的图象的顶点，CD=.
（1）求a的值.
（2）点M在二次函数y=a(x+1)²－4图象的对称轴上，且∠AMC=∠BDO，求点M的坐标．
（3）将二次函数y=a(x+1)²－4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C₁，与y轴的交点为D₁，是否存在实数k，使得CF⊥FC₁，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

.解：（1）∵C（-1，-4），CD=，
∴D（0，-3）
∴a="1"
∴
即y = x²+2x - 3 
（2）M（-1，6）或（-1，-6）
（3）存在

由CC₁=DD₁=k，CC₁∥DD₁，
∴∠ F C C₁=∠F D D₁=45°，
∵CF⊥FC₁，∴∠CC₁F=45°
即△CFC₁为等腰直角三角形，且CC₁=k，
∴F（-k-1，-k-4），     
由点F在新抛物线y=x²+2x-3- k上，
∴ (-k-1)²+2（-k-1）-3-k =-k-4，  
解得k=2或k=0（舍），
∴k =2．   
当k =2时， 

解析

（1）根据函数的解析式，可以直接写出顶点C的坐标．
（2）根据（1）得到的抛物线解析式，能确定点A、B的坐标，在Rt△OBD中，首先求出∠OBD的正弦值，设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若∠AMC=∠BDO，那么它们的正弦值相等，在Rt△AMN中即可求出MN的长，由此得出点M的坐标．
（3）抛物线在向下平移的过程中，顶点、抛物线与y轴交点同时向下平移了k个单位，由此易发现四边形CC₁D₁D为平行四边形，进一步能推出△CFC₁是等腰直角三角形，根据C、C₁两点的坐标，结合等腰直角三角形的性质可写出点F的坐标，再代入平移后的抛物线解析式中进行求解即可．