题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．
（1）分别求出点A．点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象过点D，求k值；
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）令y=0，即，解得。
∴C（，0）、A（，0）。
令x=0，得y=2。∴B（0，2）。
∴A（，0）、B（0，2）。
（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k₁x+2。
又∵点A（，0）在直线上，∴0=k₁+2，解得k₁=。
∴直线AB的解析式为y=x+2。
（3）由A（，0）、B（0，2）得：OA=，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=。
∴D点的横坐标为OD·cos60⁰=，纵坐标为OD·sin60⁰=3。
∴D（，3）。
∵过点D，∴，即k=3。
（4）存在。
∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=﹣t，
∴。
依题意， ， 得0＜t≤4。
∴当t=时，S有最大值为。

解析

二次函数综合题，动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，线段中垂线的性质，含30⁰角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，点到直线的距离，二次函数的最值。
【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）。
（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式。
（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含30⁰角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的值，应用三角函数即可得到D点的坐标。
（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，从而可得到点P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值。