题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
答案
解析
则 解得。
∴抛物线对应二次函数的解析式 所以。
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上,
∴,∴x22=4(y2+1)。
又∵,∴。
又∵y2≥-l,∴ON=2+y2。
设ON的中点E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足为P、F, 则 ,
∴ON=2EF,
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半,
∴以ON为直径的圆与相切。
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则,
又∵y1=kx1,y2=kx2,∴(y2-y1)2=k2(x2-x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上,
∴,即x2-4kx-4=0,∴x2+x1=4k,x2·x1=-4。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2+xl)2-4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。
延长NP交于点Q,过点M作MS⊥交于点S,
则MS+NQ=y1+2+y2+2=
∴MS+NQ=MN,即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。
(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。
(2)要证以ON为直径的圆与直线相切,只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。
(3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出MN和M、N两点到直线的距离之和,相比较即可。
核心考点
试题【如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
①y随x变化的部分数值规律如下表:
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
②有序数对、、满足;
③已知函数的图象的一部分(如图).
(2)直接写出二次函数的三个性质.
A.k="n" | B.h="m" | C.k<n | D.h<0,k<0 |
A.a=1,b=2 | B.a=1,b=-2 | C.a=-1,b=2 | D.a=-1,b=-2 |
A. ①② | B.①③ | C.②④ | D.③④ |
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