题目

题型：不详难度：来源：

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x²＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝x²＋bx＋c交于第四象限的F点．

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过
点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

答案

（1）y＝x²＋2x＋3，F(6，-3) （2） ①有，t=3；②，，1，

解析

试题分析：（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y＝x²＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C

∴ ∴ ∴y＝x²＋2x＋3
设直线AD的解析式为
∵A(4，0)、D(2，3) ∴ ∴
∴ 
∵F点在第四象限，∴F(6，-3)
（2）∵E(0，6)  ∴CE=CO
连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时， EP+PH+HF的值最小.
设直线CF的解析式为
∵C(0，3)、F(6，-3) ∴ ∴ ∴
当y=0时，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3  ∴t=3
如图1，过M作MN⊥OA交OA于N
∵△AMN∽△AEO，∴
∴ ∴AN=t，MN=
I．如图1，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN=PH   ∴MN=  ∴t=1
II．如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=，
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，
，，
 （舍去），
III．如图3．如图4，当PH=PM时，PM=3， MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，
，25t²-100t+64=0 ，
∴，，1，

点评：本题考查二次函数、等腰三角形，要求考生会用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的性质，掌握等腰三角形的性质