题目

题型：不详难度：来源：

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．
（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）
（2）（，1）
（3）存在。理由见解析

解析

分析：（1）在Rt△AOB中，根据AO的长和∠BOA的度数，可求得OB的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C、A的坐标，将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式。
（2）求出直线BO的解析式，进而利用x=求出y的值，即可得出D点坐标。
（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作MF⊥CD（即抛物线对称轴）于F，过P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CF、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标。
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，
∴，AB=2。
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3。
∴C点坐标为（，3）。
∵O点坐标为：（0，0），∴抛物线解析式为（a≠0）。
∵图象经过C（，3）、A（，0）两点，
∴，解得。
∴此抛物线的函数关系式为：。
（2）∵AO=，AB=2，∴B点坐标为（，2）。
∴设直线BO的解析式为：y=kx，则2=k，解得：k=。
∴设直线BO的解析式为：y=x。
∵的对称轴为直线，
∴将两函数联立得出：y=。
∴抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标为：（，1）。
（3）存在。
∵的顶点坐标为（，3），即为点C，
MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，∴ON=t。∴P（t，t）。
作PQ⊥CD，垂足为Q，MF⊥CD，垂足为F，

把x=t代入，得，
∴M（t，﹣），F（，）。
同理：Q（，t），D（，1）。
要使PD=CM，只需CF=QD，即，解得t=，t=1（舍去）。
∴P点坐标为。
∴存在满足条件的P点，使得PD=CM，此时P点坐标为