题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（，0），以OC为直径作半圆，圆心为D．

（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴A（0，2），B（2，2）。
又∵E的坐标为（，0），
∴，解得，。
∴该二次函数的解析式为：。
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，

由题意，得，
∴。
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB。
∴，即。∴DG=1。
∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切线。
（3）由题意，得E（，0），B（2，2）．

设直线BE为y=kx+h，则
，解得，。
∴直线BE为：。
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，
∴点P的纵坐标，即P（1，）。
∵MN∥BE，∴∠MNC=∠BEC。
∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC。∴，即。∴。
∴。
∴，，
。
∵（0＜t＜2）。
∵抛物线（0＜t＜2）的开口方向向下，
∴S存在最大值，当t=1时，S_最大=。

解析

（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值。
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论。
（3）利用待定系数法求得直线BE为：，则易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到，．所以由即可求得（0＜t＜2），由抛物线的性质可以求得S的最值。