题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;
(2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAC的周长最小,请在图中画出点P的位置,并求点P的坐标;
(3)如图2,若点D是第一象限抛物线上的一个动点,过D作DE⊥x轴,垂足为E.
①有一个同学说:“在第一象限抛物线上的所有点中,抛物线的顶点Q与x轴相距最远,所以当点D运动至点Q时,折线D-E-O的长度最长”,这个同学的说法正确吗?请说明理由.
②若DE与直线BC交于点F.试探究:四边形DCEB能否为平行四边形?若能,请直接写出点D的坐标;若不能,请简要说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值,然后配方后即可确定其顶点坐标;
(2)连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式,最后求得其与x=2与直线BC的交点坐标即为点P的坐标;
(3)①设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,求得L的最大值后与当点D与Q重合时L=9+2=11<相比较即可得到答案;
②假设四边形DCEB为平行四边形,则可得到EF=DF,CF=BF.然后根据DE∥y轴求得DF,得到DF>EF,这与EF=DF相矛盾,从而否定是平行四边形.
(1)将A(-1,0)、B(5,0)分别代入y=-x2+bx+c中,得
,解得
∴y=-x2+4x+5.
∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴Q(2,9).
(2)如图1,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.
∵AC长为定值,∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小.
∵点A关于对称轴x=2的对称点是点B(5,0),抛物线y=-x2+4x+5与y轴交点C的坐标为(0,5).
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小.
设直线BC的解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入5k+5=0,得k=-1,
∴y=-x+5,
∴当x=2时,y=3,
∴点P的坐标为(2,3).
(3)①这个同学的说法不正确.
∵设D(t,-t2+4t+5),设折线D-E-O的长度为L,则L=−t2+4t+5+t=−t2+5t+5=−(t−)2+,
∵a<0,
∴当t=时,L最大值=.
而当点D与Q重合时,L=9+2=11<,
∴该该同学的说法不正确.
②四边形DCEB不能为平行四边形.
如图2,若四边形DCEB为平行四边形,则EF=DF,CF=BF.
∵DE∥y轴,
∴,即OE=BE=2.5.
当xF=2.5时,yF=-2.5+5=2.5,即EF=2.5;
当xD=2.5时,yD=−(2.5−2)2+9=8.75,即DE=8.75.
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25>2.5.即DF>EF,这与EF=DF相矛盾,
∴四边形DCEB不能为平行四边形.
核心考点
试题【如图1,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q,与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;(2)在该抛物】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
①2a+b=0;②4a+2b+c>0;③B点坐标为(4,0);④当x<-1时,y>0.
其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;
(2)点Q是线段AB上的一动点,过点Q作QE∥AD交BD于E,连结DQ,当△DQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点,点N在x轴上,当四边形CMNF周长取最小值时,求出满足条件的点M和点N的坐标.
A.2 | B.4 | C.8 | D.16 |
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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