题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线对称轴上有一动点P,当时,求出点的坐标;
(3)如图2所示,连结,是线段上(不与、重合)的一个动点.过点作直线,交抛物线于点,连结、,设点的横坐标为.当t为何值时,的面积最大?最大面积为多少?
答案
解析
试题分析:(1)已知了C点的坐标,即可得到OC的长,根据∠OAC的正切值即可求出OA的长,由此可得到A点的坐标,将A、C的坐标代入抛物线中,即可确定该二次函数的解析式;
(2)根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程,由此可得到点P的横坐标;若∠APC=90°,则∠PAE和∠CPD是同角的余角,因此两角相等,则它们的正切值也相等,由此可求出线段PE的长,即可得到点P点的坐标;(用相似三角形求解亦可)
(3)根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式,已知了点M的横坐标为t,根据直线BC和抛物线的解析式,即可用t表示出M、N的纵坐标,由此可求得MN的长,以MN为底,B点横坐标的绝对值为高,即可求出△BNC的面积(或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和),由此可得到关于S(△BNC的面积)、t的函数关系式,根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值.
试题解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2),
∴c=2;
又∵tan∠OAC==2,
∴OA=1,即A(1,0);
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上,
∴0=12+b×1+2,b=-3;
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2;
(2)存在.
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-;
∴AE=OE-OA=,
∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE=tan∠CPD,
∴,即,
解得PE=或PE=,
∴点P的坐标为(,)或(,).
(3)如图所示,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点,
∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2),
∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t,
∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN·t+MN·(2-t),
=MN·(t+2-t)=MN=-t2+2t(0<t<2),
∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1,
∴当t=1时,S△BCN的最大值为1.
核心考点
试题【如图1,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,连结AC,若(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线对称轴上有一动点P,当时,求出点的坐标;(3)如图2所示,连结,是线段上】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求b的值;
(2)判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由;
(3)将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k(k是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k的最小值.
销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
A.1 B.2 C.3 D.4
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,若抛物线的顶点为P,点A关于对称轴的对称点为M,过M的直线交抛物线于另一点N(N在对称轴右边),交对称轴于F,若,求点F的坐标;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点G,使△BMA与△MBG相似?若存在,求点G的坐标;若不存在,请说明理由.
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