题目

题型：不详难度：来源：

如图，设直线l₂：y=-2x+8与x轴相交于点N，与直线l₁相交于点E（1，a），双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点E，且与直线l₁相交于另一点F（9，

2

3

）．
（1）求双曲线解析式及直线l₁的解析式；
（2）点P在直线l₁上，过点F向y轴作垂线，垂足为点B，交直线l₂于点H，过点P向x轴作垂线，垂足为点D，与FB交于点C．
①请直接写出当线段PH与线段PN的差最大时点P的坐标；
②当以P、B、C三点为顶点的三角形与△AMO相似时，求点P的坐标．

答案

（1）∵双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点E（1，a）和点F（9，

2

3

），
∴

a=k 2 3 = k 9

，
解得

a=6 k=6

，
∴双曲线的解析为：y=

6

x

，点E（1，6）．
设直线l₁的解析式为y=kx+b（k≠0）．
把点E、F的坐标分别代入，得

k+b=6 9k+b= 2 3

，
解得

k=- 2 3 b= 20 3

，
则直线l₁的解析式为y=-

2

3

x+

20

3

；
综上所述，双曲线解析式及直线l₁的解析式分别是：y=

6

x

和y=-

2

3

x+

20

3

；

（2）①当点P、H、N共线时，线段PH与线段PN的差最大，此时，点P与点E重合，即P（1，6）；
②设P（x，y）（x＞0）．
∵直线l₁的解析式为y=-

2

3

x+

20

3

，
∴AO=

20

3

，OM=10，
∴如图，在直角△AOM中，由勾股定理得到：AM=

OA2+OM2

=

( 20 3 )2+102

=

10 13

3

．
易求PC=-

2

3

x+

18

3

．
i）当△PBC∽△AMO时，

BC

MO

=

PC

AO

，即

x

10

=

- 2 3 x+ 18 3

20 3

，解得x=

9

2

，则y=-

2

3

×

9

2

+

20

3

=

11

3

，故P（

9

2

，

11

3

）；
ii）当△PBC∽△MAO时，

BC

AO

=

PC

MO

，即

x

20 3

=

- 2 3 x+ 18 3

10

，解得x=

36

13

，则y=-

2

3

×

36

13

+

20

3

=

188

39

，故P（

36

13

，

188

39

）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P（

9

2

，

11

3

）或（

36

13

，

188

39

）．