题目

题型：不详难度：来源：

如图，己知双曲线y＝(x>0)与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于P、Q两点，连结OP、OQ．
(1)求△OPQ的面积．
(2)试说明：△OAQ≌△OBP
(3)若C是OA上不与O、A重合的任意一点，CA＝a(0<a<1)，CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．
①a为何值时，CE＝AC?
②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB?若存在这样的点，请求出点C的坐标：若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵A（1,0）B（0,1）
∴OB=OA，∠OBA=∠OAB，直线AB的解析式为y=-x+1
∵双曲线（x＞0）与经过点A，B的直线交于P、Q两点
∴ 
∵
∴
(2) 由（1）得
∵A（1,0）B（0,1）
∴PB=AQ
∵OB=OA，∠OBA=∠OAB
∴△OAQ≌△OBP
（3）①解：作DF⊥AO
易得OEFD为矩形
等腰直角三角形ACD中，
∴
在直角三角形EOC中，
若CE=AC，则
∴
解之得或
∵0<a<1
∴
②若CE∥AB，则有∠ECO=∠OEC=∠B=∠A=45°
∴OE=OC=1-a
作DF⊥AO
易得OEFD为矩形
等腰直角三角形ACD中，
∴
∴
解之得
∴

解析

（1）直接求三角形的面积较繁，此题用补的方法求较容易，把△OPQ补成△AOB
减去△BOP和△AOQ的面积即可
（2）利用点的坐标，求出线段长，找出三角形全等的条件
（3）作辅助线，结合勾股定理，用a的代数式表示CE，根据CE＝AC，列出a的方程即可；根据CE∥AB，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出a的方程即可