题目

题型：期末题难度：来源：

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出出当t为何值时，① PD=PQ，② DQ=PQ ？

答案

解：（1）直角梯形ABCD中，AD//BC，AD=16
    依题意 AQ=t，BP=2t，
    则 DQ=16-t，PC=21-2t
    过点P作PE⊥AD于E，则四边形ADPE是矩形，PF=AB=12
    ∵ S_△DPQ=DQ·AB=（16-t）×12=-6t+96
    ∴ 所求的函数关系式为 S=-6t+96 （0＜t＜10.5）
（2） 当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，
     ∴ 21-2t=16-t 解得：t=5
    ∴ 当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形
（3） ∵ AE=BP=2t，PF=AB=12
      ① 当PD=PQ时， QE=ED=AQ=t
    ∴ AD=3t 即 16-t=3t 解得 t= 
    ∴ 当t=时，PD=PQ 
      ② 当 DQ=PQ时， DQ²=PQ²
     ∴ t²+12²=（16-t）² 解得 t=
     ∴ 当t=时，DQ=PQ