题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F。
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=____°，猜想∠QFC=____°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式。

答案

解：（1）∠EBF=30°，∠QFC=60°；
（2）∠QFC=60°，
不妨设BP＞，如图1所示，
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△ABP和△AEQ中，
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABP=90°，
∴∠BEF=，
∴∠QFC=30°+30°=60°；
（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=，
由（1）得30°，
在Rt△BGF中，，
∴BF=，
∴EF=2，
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2，
过点Q作QH⊥BC，垂足为H，
在Rt△QHF中，（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：。