题目

题型：不详难度：来源：

如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为(1，3)．矩形O"A"BC"是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的．O"点恰好在x轴的正半轴上， O"C"交AB于点D.

(1)求点O"的坐标，并判断△O"DB的形状（要说明理由）(4分)
(2)求边C"O"所在直线的解析式．(4分)
(3)延长BA到M使AM=1，在(2)中求得的直线上是否存在点P，使得ΔPOM是以线段OM为直角边的直角三角形?若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．(2分)

答案

(1)点O"的坐标(2，0)，△O"DB为等腰三角形(理由略) ，(2)边C"O"所在直线的解析式：(3)P(2,0)  

解析

（1）连接OB，O′B，根据旋转的性质可得OB=O′B，再根据矩形的性质BA⊥OA，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AO=AO′，然后根据点B的坐标求出AO的长度，再得到AO′的长度，点O′的坐标即可得到；利用角角边证明△BC′D与△O′AD全等，然后根据全等三角形对应边相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；
（2）设点D的坐标是（1，a），表示出O′D的长度，然后利用勾股定理列式求出a的值，从而得到点D的坐标，再根据待定系数法列式即可求出直线C′O′的解析式；
（3）根据AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角边，∠PMA=45°，②PO是另一直角边，∠POA=45°两种情况列式进行计算即可得解．