题目

题型：不详难度：来源：

（2013年浙江义乌4分）如图，直线l₁⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l₁上的动点．直线l₂：y=x+1交l₁于点C，过点B作直线l₃垂直于l₂，垂足为D，过点O，B的直线l₄交l ₂于点E．当直线l₁，l₂，l₃能围成三角形时，设该三角形面积为S₁，当直线l₂，l₃，l₄能围成三角形时，设该三角形面积为S₂．

（1）若点B在线段AC上，且S₁=S₂，则B点坐标为     ；
（2）若点B在直线l₁上，且S₂=S₁，则∠BOA的度数为     ．

答案

（1）（2，0）；（2）15°或75°。

解析

（1）设B的坐标是（2，m），则△BCD是等腰直角三角形。
∵，∴。
∴。
设直线l₄的解析式是y=kx，则2k=m，解得：。
∴直线l₄的解析式是。
根据题意得：，解得：。
∴E的坐标是（，）。
∴。
∴。
当S₁=S₂时，。
解得：m=0，m=4（不在线段AC上，舍去），m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴B的坐标是（2，0）。
（2）分三种情况：
①当点B在线段AC上时（如图1），

由S₂=S ₁得：。
解得：或（不在线段AC上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴AB=。
在OA上取点F，使OF=BF，连接BF，设OF=BF=x，
则AF=2－x，根据勾股定理，得，解得。
∴sin∠BFA=。∴∠BFA=30°。∴∠BOA=15°。
②当点B在AC延长线上时（如图2），

此时，,
由S₂=S ₁得：。
解得：或（不在AC延长线上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴AB=。
在AB上取点G，使BG=OG，连接OG，设BG=OG=x，
则AG=，根据勾股定理，得，解得
∴sin∠OGA=。∴∠OGA =30°。∴∠OBA=15°。∴∠BOA=75°。
③当点B在CA延长线上时（如图3），

此时，,
由S₂=S ₁得：。
解得： m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴此时满足条件的点B不存在。
综上所述，∠BOA的度数为15°或75°。