题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;
(3)若x·g ′(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,求实数a的取值范围.
答案
令 f ′(x)=0 得x=,
故当 x<或x>时, f ′(x) >0 ,f(x) 单调递增;
当<x<时, f ′(x)<0, f(x) 单调递减.
所以函数f(x)的单调递增区间为 (-∞,],[,+∞),
单调递减区间为 (,). …………………………………………3分
(2)解法一:因=3x2+3a,
故g(x) =3x2-ax+3a-3.
令g(x)=h(a)=a(3-x)+3x2-3,
要使 h(a)<0对满足-1≤a≤1的一切 a成立,则
0<x<. …………………………………… 7分
解法二:f ′(x)=3x2+3a,
故g(x)=3x2-ax+3a-3.
由g(x)<0可解得<x<.
因为=a2-36a+36在[-1,1]单调递减,
因此 h1(a)=在[-1,1] 单调递增,故h1(a)≤h1(1) =0
设h2(a)=,
则h′2(a)=,
因为≥1,
所以 h′2(a)≤(1+a-18)<0,
从而h2(a) 在[-1,1] 单调递减,
故h2(a)≥h2(1)=.
因此[h1(a)]max<x<[h2(a)]min,即0<x<.
(3)因为g′(x)=6x-a,所以 x(6x-a)+lnx>0,
即 a<6x+=h(x) 对于一切x≥2恒成立.
h′(x)=6+=,
令6x2+1-lnx=,则=12x-.
因为x≥2,所以>0,
故在[2,+∞) 单调递增,有≥=25-ln2>0.
因此h′(x)>0,从而h(x)≥h(2)=12+.
所以a<hmin(x)=h(2)=12+.……………………………………12分
解析
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+3ax-1的导函数f ′ (x),g(x)=f ′(x)-ax-3.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对满足-1≤a】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数.
若,求的最小值;
若当时,求实数的取值范围.
已知函数
(Ⅰ) 求的最小值
(Ⅱ)若在区间, 试求k的取值范围.
三次函数的图象如图所示,直线BD∥AC,且直线BD与函数图象切于点B,交于点D,直线AC与函数图象切于点C,交于点A.
(1)若函数f(x)为奇函数且过点(1,-3),当x<0时求的最大值 ;
(2)若函数在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求的单调递减区间;
(3)设点A、B、C、D的横坐标分别为,,,
求证;
A. | B. | C. | D. |
A . B. C. D.
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