题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积 
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使＝，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．
(3)点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：① 的值不变，② 的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．

答案

（1）点C，D的坐标分别为C（0，2），D(4，2) ，
四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}＝8
（2）在y轴的正负半轴分别存在一点P(0，4)或P(0，－4)
（3）①是正确的结论

解析

试题分析：（1）依题意知，将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，故C、D两点点y值为2. 所以点C，D的坐标分别为C（0，2），D(4，2) ，
四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}＝CO×AB=2×4=8
（2）（2）在y轴上是否存在一点P，使S△PAB=S四边形ABDC．理由如下：
设点P到AB的距离为h，
S△PAB=×AB×h=2h，
由S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，
解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
（3）①是正确的结论，过点P作PQ∥CD，
因为AB∥CD，所以PQ∥AB∥CD（平行公理的推论） 
∴∠DCP＝∠CPQ，∵∠BOP＝∠OPQ(两直线平行，内错角相等)，  
∴∠DCP＋∠BOP＝∠CPQ +∠OPQ ＝∠CPO
所以＝=1．
点评：本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系及三角形、平行四边形的面积公式，解题的关键是理解平移的规律．