题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点。
（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值。

答案

解：（1）如图，设点P为 AD的中点，连接MP，NP
因为点M是BC的中点，
所以MP∥CD
因为CD平面A₁CD，MP平面A₁CD，
所以MP∥平面A₁CD
因为点N是AA₁的中点，
所以NP∥A₁D
因为A₁D平面A₁CD，NP平面A₁CD，
所以NP∥平面A₁CD
因为MP∩NP=P，MP平面MNP，NP平面MNP，
所以平面MNP∥平面A₁CD
因为MN平面MNP，
所以MN∥平面A₁CD。（2）如图，取BB₁的中点Q，连接ND，NQ，CQ
因为点N是AA₁的中点，
所以NQ∥AB
因为AB∥CD，
所以NQ∥CD，
所以过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁
因为
所以直三棱柱QBC-NAD的体积
因为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=1×1×2=2
所以直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁的体积
所以
所以所截成的两部分几何体的体积的比值为