题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知关于x的方程 
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（4分）
（2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长。（8分）

答案

（1）⊿=·····2分
∵论k取什么实数值，≥0，·∴原方程总有实数根.
（2）∵三角形ABC是等腰三角形ABC，
∴有两条边相等。
若b=c,
∵b、c都是方程的根，
∴⊿==0，。
∴b+c="2k+1=3+1=4."
∵a=4,这时b+c=a,不合题意；
∴不存在这种情况。·若b、c中有一条与a相等，不妨设b=a=4.
∵b是所给的方程的根，
∴，∴ ， b+c=2k+1=6，c="2."
∵a+b=8＞c,
∴三角形ABC的周长为a+b+c=8+2=10.

解析

（1）先把方程化为一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出两根：x₁=2，x₂=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．