题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式

x+1

x-1

+

x-1

x+1

+

2x+a+2

x2-1

=0，试求所有这样的实数a的和．

答案

方程两边都乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）²+（x-1）²+2x+a+2=0，
整理得，2x²+2x+a+4=0，①
△=b²-4ac=2²-4×2×（a+4）=-8a-28，
（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，
即-8a-28=0，
解得a₁=-

7

2

，
此时方程①有一个根x=-

1

2

，验证可知x=-

1

2

的确满足题中的等式，
（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，
即-8a-28＞0，
解得a＜-

7

2

，
（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，
解得a₂=-8，
此时方程①的另一个根x=-2，它的确也满足题中的等式；
（ii）若x=-1是方程①的根，则原方程有增根x=-1，代入①得，2-2+a+4=0，
解得a₃=-4，
此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；
因此a₁=-

7

2

，a₂=-8，a₃=-4即为所求，
a₁+a₂+a₃=-

7

2

-8-4=-

31

2

．
故答案为：-

31

2

．