题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）已知关于x的一元二次方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0（n为自然数）的两根都为质数，求此方程的两根．
（2）已知x-3x+1=0，求

x2

x4+x2+1

的值．

答案

（1）由于两根之和为4n-5是一个奇数，而两根都是质数，所以必有一根是2，
把2代入方程，得8-16n+20-n²+35n-76=0，
即n²-19n+48=0，
解得n=3或16，
当n=3时，原方程为2x²-14x+20=0，此时两根为2和5；
当n=16时，原方程为2x²-118x+228=0，此时两根为2和57．
即此方程的三根为2、5、57．
（2）∵x-3x+1=0，
∴x=

1

2

所以

x2

x4+x2+1

=

( 1 2 )2

( 1 2 )4+( 1 2 )2+1

=

4

21

．