题目

题型：解答题难度：一般来源：竞赛题

已知：五位数满足下列条件：
（1）它的各位数字均不为零；
（2）它是一个完全平方数；
（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所有五位数．

答案

解：设，且a=m²（一位数），（两位数），（两位数），
则M²=m²×10⁴+n²×10²+t²①
由式①知M²=（m×10²+t）²=m²×10⁴+2mt×10²+t²②
比较式①、式②得n²=2mt．
因为n²是2的倍数，故n也是2的倍数，
所以，n²是4的倍数，且是完全平方数．
故n²=16或36或64．
当n²=16时，得mt=8，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；
故M²=11664或41616．
当n²=36时，得mt=18．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．
故M²=43681或93636．
当n²=64时，得mt=32．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．
因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636．