题目

题型：解答题难度：一般来源：竞赛题

求所有正整数x，y，使得x²+3y与y²+3x都是完全平方数．

答案

解：令x²+3y=m²（1），
y²+3x=n²，
由于其对称性，可暂设x≥y，不失一般性．
由（1）式可知m＞x，
又因为m²=x²+3y＜x²+4x+4=（x+2）²，
所以，只有m=x+1，代入（1）得
3y=2x+1，x=  
将其代入（2）式得，y²+y﹣=n²
同理可以得y＜n＜y+3，
故只有n=y+1或n=y+2
分别代入（4）式得，
y=1或，y=11，
由（3）式可得，x=1或x=16，
又因为x，y可互换，
故方程有三组解，即（1，1）；（16，11）；（11，16）