题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

(本题满分9分)
刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，，，；图②中，，，．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上(移动开始时点与点重合)．
(1)在沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：、两点间的距离逐渐 ▲ ．
(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当移动至什么位置，即的长为多少时，、的连线与平行?
问题②：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形?
问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得?如果存在，
求出的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．

答案

（1）变小
（2）
①cm时，
②当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形
③不存在这样的位置，使得

解析

（1）变小
（2）问题①：解：∵，，，
∴.
∵,, 
∴.
连结，设.
∴,在中，DC=4.
∴=12-4.
即cm时，
问题②：解：设当，
在中，.
（Ⅰ）当为斜边时，由得，,.
(Ⅱ)当为斜边时，由得，,（不符合题意，舍去）.
(Ⅲ)当为斜边时，由得，,,
=144-248<0,
∴方程无解.
∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，
当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形.
问题③不存在这样的位置，使得.
假设，由,得.作的平分线，交于,
则,
∴.
∴,.
∴.
∴不存在这样的位置，使得.