题目

求极限

lim

x→0

[sinx-sin(sinx)]sinx

x4

．

提问时间：2022-01-03

答案

∵x→0时，sinx～x，sin²x～x²，1-cosx～

1

2

x2，1-cos（sinx）～

1

2

sin2x～

1

2

x2
∴

lim

x→0

(sinx-sin(sinx))sinx

x4

=

lim

x→0

sinx-sinx(sinx)

x3

=

lim

x→0

cosx-cos(sinx)cosx

3x2

=

lim

x→0

cosx•

lim

x→0

1-cos(sinx)

3x2

=

lim

x→0

1-cos(sinx)

3x2

=

lim

x→0

1 2 sin2x

3x2

=

lim

x→0

1 2 x2

3x2

=

1

6

此题是求0比0型的极限，由于分子分母可导，所以很容易让人想起用洛必达法则，但我们在用洛必达法则之前，要考虑能否用等价无穷小将其化简．

本题考点：A:等价无穷小代换定理及其应用 B:求函数极限 C:洛必达法则

考点点评：等价无穷小的运用能很大程度上简化极限的运算，但我们在用等价无穷小的时候，也要注意：如果乘积函数中有的函数极限已经很明显可以求出来，那就先求出来．