题目

已知函数f（x）=

ax+1

x+2

，a∈Z，是否存在整数a，使函数f（x）在x∈[-1，+∞）上递减，并且f（x）不恒为负？若存在，找出一个满足条件的a，若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-12-21

答案

∵f（x）=

ax+1

x+2

=

a(x+2)+1−2a

x+2

＝a+

1−2a

x+2

，
∴要使函数f（x）在x∈[-1，+∞）上递减，
则1-2a＞0，此时a＜

1

2

，
要使f（x）不恒为负，
即f（x）=

ax+1

x+2

≥0在∈[-1，+∞）有解，
当a=0时，f（x）=

ax+1

x+2

=

1

x+2

，此时f（0）=

1

2

＞0，
满足f（x）不恒为负，
∴当a=0时，满足条件．

根据分式函数的性质，根据x）在x∈[-1，+∞）上递减求出a的取值范围，然后根据条件验证条件f（x）不恒为负是否成立即可得到结论．

本题考点：函数单调性的性质．

考点点评：本题主要考查分式函数的图象和性质，利用分子常数化是解决分式函数问题的基本方法．