题目

如图，已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则椭圆C的离心率为（　　）
A.

3

2

B.

5

3

C.

6

3

D.

2 5

5

提问时间：2021-12-21

答案

如图：连接OQ，PF1，∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，OQ=12PF1，∴PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，∴PF2=2a-2b∵线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2，且|F1F2|=2c，∴（2b）2+（2a-2b）2=...

连接OQ，PF₁，先利用三角形中位线定理证明OQ∥PF₁，OQ=

1

2

PF₁，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF₁=2b，再利用椭圆的定义，得PF₂=2a-2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF₁⊥PF₂，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题