题目
高数之应用
从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗.问留下的扇形的中心角φ取多大时,做成的漏斗的容积最大?
=[(φR)^2*√(R^2-(φR/2π)^2)]/12π
=[R^3/(12π^2)]*√(φ^4(4π^2-φ^2)/4)
=[R^3/(12π^2)]*√((φ^2/2)(φ^2/2)(4π^2-φ^2)) ***
≤[R^3/(12π^2)]*√{[(φ^2/2)+(φ^2/2)+(4π^2-φ^2)]/3}^3 柯西不等式
=[R^3/(12π^2)]*(4π^2/3)^3
=2√3*πR^3/27 当且仅当 φ^2/2=(4π^2-φ^2) 时取等号
这里开始不太懂,
从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗.问留下的扇形的中心角φ取多大时,做成的漏斗的容积最大?
=[(φR)^2*√(R^2-(φR/2π)^2)]/12π
=[R^3/(12π^2)]*√(φ^4(4π^2-φ^2)/4)
=[R^3/(12π^2)]*√((φ^2/2)(φ^2/2)(4π^2-φ^2)) ***
≤[R^3/(12π^2)]*√{[(φ^2/2)+(φ^2/2)+(4π^2-φ^2)]/3}^3 柯西不等式
=[R^3/(12π^2)]*(4π^2/3)^3
=2√3*πR^3/27 当且仅当 φ^2/2=(4π^2-φ^2) 时取等号
这里开始不太懂,
提问时间:2021-12-12
答案
留下的扇形圆弧长l=φR
做成一个漏斗后底圆周长为l,故半径r=φR/2π
所以漏斗的高为 h=√(R^2-r^2)=√(R^2-(φR/2π)^2)
所以漏斗体积为
v=πr^2*h/3=[(φR)^2*√(R^2-(φR/2π)^2)]/12π
=[R^3/(12π^2)]*√(φ^4(4π^2-φ^2)/4)
=[R^3/(12π^2)]*√((φ^2/2)(φ^2/2)(4π^2-φ^2)) ***
≤[R^3/(12π^2)]*√{[(φ^2/2)+(φ^2/2)+(4π^2-φ^2)]/3}^3 柯西不等式
=[R^3/(12π^2)]*(4π^2/3)^3
=2√3*πR^3/27 当且仅当 φ^2/2=(4π^2-φ^2) 时取等号
即 φ=2√6*π/3
上式也可以用求导的方法求取最大值~自己试下吧
做成一个漏斗后底圆周长为l,故半径r=φR/2π
所以漏斗的高为 h=√(R^2-r^2)=√(R^2-(φR/2π)^2)
所以漏斗体积为
v=πr^2*h/3=[(φR)^2*√(R^2-(φR/2π)^2)]/12π
=[R^3/(12π^2)]*√(φ^4(4π^2-φ^2)/4)
=[R^3/(12π^2)]*√((φ^2/2)(φ^2/2)(4π^2-φ^2)) ***
≤[R^3/(12π^2)]*√{[(φ^2/2)+(φ^2/2)+(4π^2-φ^2)]/3}^3 柯西不等式
=[R^3/(12π^2)]*(4π^2/3)^3
=2√3*πR^3/27 当且仅当 φ^2/2=(4π^2-φ^2) 时取等号
即 φ=2√6*π/3
上式也可以用求导的方法求取最大值~自己试下吧
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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