题目

已知两点A（-1，3），B（3，1），点C在坐标轴上，若∠ACB=60°，则点C有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

提问时间：2021-12-10

答案

设线段AB的中点为M（m，n），则

m＝ −1+3 2 ＝1 n＝ 3+1 2 ＝2

，
∴M（1，2）．
又|BM|＝

(3−1)2+(1−2)2

=

5

．
∴以点M为圆心，

5

为半径的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5．
令x=0，解得y=0或4，得到与y轴的两个交点（0，0），（0，4）．
同理与x轴也有两个交点（0，0），（0，2）．
如图所示，⊙M与两个坐标轴相交于三个点．
根据圆外角小于直角，因此在原点的左侧一定存在一点C（图中的P）使得∠APB=60°＜∠ANB=90°，
同理在x轴的正半轴上也存在一点C满足条件．
同理在y轴上也存在两点C满足条件．
综上可知：有4点C在坐标轴上满足∠ACB=60°．
故选：D．

如图所示：利用圆外角小于直角即可得出有4点C在坐标轴上满足∠ACB=60°．

本题考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

考点点评：本题考查了圆外角小于直角的性质，属于难题．