题目

设函数f(x)在区间(a,b)内二阶可导,且f''(x)≥0
证明：任意的x,x0属于（a,b）,有f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0) 不用泰勒公式做

提问时间：2021-12-01

答案

当x≥x0吧
f(x)-f(x0)=f'(ζ1)(x-x0) 其中ζ1∈(x0,x)
f''(x)≥0可知f'(x)递增,即f'(ζ)≥f'(x0)
即f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)
当x有f(x0)-f(x)=f'(ζ2)(x0-x) 其中ζ2∈(x,x0)
f''(x)≥0可知f'(x)递增,即f'(ζ2)<=f'(x0)
即f(x0)-f(x)<=f'(x0)(x0-x)
整理得f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)
综上成立