题目

已知f（x）=|2x-1|+ax-5（a是常数，a∈R）
①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．
②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

提问时间：2021-05-01

答案

①当a=1时，f（x）=|2x-1|+x-5=

3x−6，(x≥ 1 2 ) −x−4，(x＜ 1 2 )

．
由

x≥ 1 2 3x−6≥0

解得x≥2； 由

x＜ 1 2 −x−4≥0

 解得x≤-4．
∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤-4}．（5分）
②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5．（7分）
作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观察可以知道，当-2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，
函数y=f（x）有两个不同的零点．
故a的取值范围是（-2，2）．（10分）

①当a=1时，f（x）=

3x−6，(x≥ 1 2 ) −x−4，(x＜ 1 2 )

，把

x≥ 1 2 3x−6≥0

和

x＜ 1 2 −x−4≥0

 的解集取并集，即得所求．
②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5 的图象，观察可以知道，当-2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．

本题考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．

考点点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．