题目

已知函数f(x)=x/ax+b,满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解
（1）求f(x)的表达式；
（2）若an=f(an-1)(n>=2)且a1=1,求an（n为下标）

提问时间：2021-04-01

答案

f(x)= x / ( ax+b)
f(2)=1 ...> >> 1= 2/(2a+b) ---->> 2a+b=2
x / ( ax+b) = x 有唯一解,即 ax^2 + (b-1)x =0 ,a=0 或 b=1
所以 a=0,b=2,或者 a=1/2 ,b=1
f(x)= x/2 或者 f(x)= x/(x/2 +1）
当 f(x)= x/2 时 An= 1/2 * An-1 ,An/An-1= 1/2,a1=1 公比为 1/2 的等比数列 ,An= (1/2)^(n-1)
当 f(x)= x/(x/2 +1） 时 化简 An - An-1 = -1/2 * An * An-1
1/An - 1/An-1 = 1/2
{ 1/An} 为 首项为 1 ,公差为 1/2 的等差数列
1/An = 1 + ( n-1)/2 = (n+1)/2
所以 An = 2/(n+1)