题目

已知函数f（x）=ax²+x-a，a∈R
（1）若函数f（x）有最大值

17

8

，求实数a的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞1（a∈R）

提问时间：2021-03-31

答案

（1）∵函数f（x）有最大值

17

8

，∴

a＜0 −4a2−1 4a ＝ 17 8

，
∴8a²+17a+2=0，∴a=-2或a＝−

1

8

…（2分）
（2）f（x）=ax²+x-a＞1，即ax²+x-（a+1）＞0，即 （x-1）（ax+a+1）＞0
a=0时，解集为（1，+∞）…4分
a＞0时，解集为(−∞，−

a+1

a

)∪(1，+∞)…（6分）
−

1

2

＜a＜0时，解集为(1，−

a+1

a

)…（8分）
a＜−

1

2

时，解集为(−

a+1

a

，1)…（10分）
a＝−

1

2

时，解集为∅…（12分）

（1）函数f（x）有最大值

17

8

，则

a＜0 −4a2−1 4a ＝ 17 8

，解之，即可求实数a的值；
（2）f（x）=ax²+x-a＞1，即ax²+x-（a+1）＞0，即 （x-1）（ax+a+1）＞0，再分类讨论，确定不等式的解集．

本题考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质．

考点点评：本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系．