题目
如图,在△ABC中,∠A=50°,AB>AC,D、E分别在AB、AC上,且BD=CE,BE、CD相交于O点,∠BCD=∠EBC,M为BE上一点,∠OCM=∠OBD.
(1)求证:CM=CE;
(2)求∠BOC的度数.
(1)求证:CM=CE;
(2)求∠BOC的度数.
提问时间:2021-03-28
答案
(1)证明:∵∠BCD=∠EBC,∠OCM=∠OBD,
∴∠BCD+∠OCM=∠EBC+∠OBD,
即∠BCM=∠CBD,
在△BCM和△CBD中,
,
∴△BCM≌△CBD(ASA),
∴BD=CM,
∵BD=CE,
∴CM=CE;
(2)设∠ABE=x,∠EBC=y,
∵∠A=50°,
∴∠CEM=∠ABE+∠A=x+50°,
∴∠ECM=180°-2∠CEM=180°-2(x+50°)=80°-2x,
∵∠BCM=∠CBD=x+y,
∴在△ABC中,∠A+∠CBD+∠BCE=180°,
即50°+(x+y)+(x+y+80°-2x)=180°,
整理得,2y=50°,
解得y=25°,
在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°.
∴∠BCD+∠OCM=∠EBC+∠OBD,
即∠BCM=∠CBD,
在△BCM和△CBD中,
|
∴△BCM≌△CBD(ASA),
∴BD=CM,
∵BD=CE,
∴CM=CE;
(2)设∠ABE=x,∠EBC=y,
∵∠A=50°,
∴∠CEM=∠ABE+∠A=x+50°,
∴∠ECM=180°-2∠CEM=180°-2(x+50°)=80°-2x,
∵∠BCM=∠CBD=x+y,
∴在△ABC中,∠A+∠CBD+∠BCE=180°,
即50°+(x+y)+(x+y+80°-2x)=180°,
整理得,2y=50°,
解得y=25°,
在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°.
(1)先求出∠BCM=∠CBD,然后利用“ASA”证明△BCM和△CBD全等,根据全等三角形对应边相等可得BD=CM,再根据BD=CE即可得证;
(2)设∠ABE=x,∠EBC=y,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CEM,再根据等腰三角形的两底角相等表示出∠ECM,然后在△ABC中,利用三角形的内角和定理列式计算求出y,在△OBC中,利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解.
(2)设∠ABE=x,∠EBC=y,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CEM,再根据等腰三角形的两底角相等表示出∠ECM,然后在△ABC中,利用三角形的内角和定理列式计算求出y,在△OBC中,利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解.
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.
本题考查了全等三角形的判定,等腰三角形的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,三角形的内角和定理,(2)解法巧妙,利用三角形内角和定理列式正好消掉x.
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