题目
如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点M、N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD=2BM.点E在射线NA上,且NE=2NA,求证:BD⊥DE.
提问时间:2021-03-27
答案
证明:取AD中点F,连接EF,
∵△ABC是等腰直角三角形,点M、N分别是边AC和BC的中点,
∴BC=AC,AC=2CM,BC=2CN,
∴CM=CN,
在△BCM和△ACN中,
|
∴△BCM≌△ACN(SAS),
∴AN=BM,∠CBM=∠CAN,
∵NE=2AN,
∴AE=AN,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠C=90°,∠ADM=∠CBM=∠NAC,
在△EAF和△ANC中,
|
∴△EAF≌△ANC(SAS),
∴∠NAC=∠AEF,∠C=∠AFE=90°,
∴∠AFE=∠DFE=90°,
∵F为AD中点,
∴AF=DF,
在△AFE和△DFE中,
|
∴△AFE≌△DFE(SAS),
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC,
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°,
∴BD⊥DE.
取AD中点F,连接EF,证△BCM≌△ACN,△EAF≌△ANC,△AFE≌△DFE,推出∠EDA=∠EAD,∠ADM=∠CBM=∠NAC,求出∠EDB=∠EDA+∠BDA=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM,即可得出答案.
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,注意:三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
举一反三
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