题目

已知sin(2α-β)=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈(

π

2

，π)，β∈(-

π

2

，0)．求sinα的值．

提问时间：2021-03-26

答案

∵

π

2

＜α＜π，∴π＜2α＜2π，
又-

π

2

＜β＜0，∴0＜-β＜

π

2

，
∴π＜2α-β＜

5π

2

，又sin(2α-β)=

3

5

＞0，
∴2π＜2α-β＜

5π

2

，cos(2α-β)=

4

5

，
又-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

12

13

，
∴cosβ=

5

13

，
∴cos2α=cos[（2α-β）+β]

=cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ = 4 5 × 5 13 - 3 5 ×(- 12 13 )= 56 65 ，

∵cos2α=1-2sin²α，∴sin2α=

9

130

，
又α∈(

π

2

，π)，
∴sinα=

3 130

130

．

由α和β的范围，求出2α-β的范围，再根据sin（2α-β）的值大于0，得到2α-β的具体范围，可得的cos（2α-β）的值大于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α-β）的值，同时由sinβ的值及β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，把cos2α式子中的角2α变为（2α-β）+β，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各种的值代入求出cos2α的值，再由二倍角的余弦函数公式化简cos2α，列出关于sinα的方程，由α的范围，开方即可求出sinα的值．

本题考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．

考点点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．