题目

双曲线与圆已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x^2+y^2-10x+20=0相切.过点p（-4

提问时间：2021-03-21

答案

圆x^2+y^2-10x+20=0,即(x-5)^2+y^2=5,和渐近线bx-ay=0相切,
∴5b/c=√5,c=b√5,
∴a=√(c^2-b^2)=2b.
∴双曲线G的方程是x^2/(4b^2)-y^2/b^2=土1.①
L:y=-0.25(x+4),即x=-4y-4,②和Y轴交于C（0,-1）,
PC^2=17.
把②代入①*b^2,整理得
3y^2+8y+4土b^2=0,（这里的+对应于①的-）.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1y2=(4土b^2)/3.
PA^2*PB^2=[(x1+4)^2+y1^2][(x2+4)^2+y2^2]
=[(-4y1)^2+y1^2][(-4y2)^2+y2^2]
=17^2*(y1y2)^2=17^2,
∴（4土b^2)/3=土1,
∴4土b^2=土3,（b^2的系数不能是1）
∴双曲线G的方程是x^2/4-y^2=1,或x^2/28-y^2/7=1.它的渐近线方程是y=土x/2.