题目

已知a、b、c∈R⁺，a、b、c互不相等且abc=1．求证：

a

+

b

+

c

＜

1

a

+

1

b

+

1

c

．

提问时间：2021-03-20

答案

（本小题满分14分）
证明：∵a、b、c∈R⁺且互不相等，且abc=1
∴

a

+

b

+

c

＝

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

＜

1 b + 1 c

2

+

1 a + 1 c

2

+

1 a + 1 b

2

＝

1

a

+

1

b

+

1

c

．
故不等式成立．

根据条件可化为

a

+

b

+

c

＝

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

，应用基本不等式即可证得结论．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查基本不等式，难点在于对条件的合理转化即

a

+

b

+

c

＝

1 bc

+

1 ac

+

1 ab

的转化，属于中档题．