题目

1.试证明一个完全平方数一定可以写成3k或3k+1的形式
2.三个连续自然数的平方和（填是或不是或可能是）——某个自然数的平方
3.a、b、c都为有理数,且a+b+c=0,a^3+b^3+c^3=0,证明：对任意正奇数n,都有a^n+b^n+c^n=0

提问时间：2021-03-20

答案

1.试证明一个完全平方数一定可以写成3k或3k+1的形式
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2.
平方后,分别得
（3m)^2=9m^2=3k
（3m+1)^2=9m^2+6m+1=3k+1
（3m+2)^2=9m^2+12m+4=3k+1
2.三个连续自然数的平方和（填是或不是或可能是）可能是 某个自然数的平方
3.a、b、c都为有理数,且a+b+c=0,a^3+b^3+c^3=0,
证明：对任意正奇数n,都有a^n+b^n+c^n=0
由a+b+c=0,
得c=-（a+b）
代入a~3+b~3+c~3=0得
3+b~3-（a+b）~3=0
3+b~3-（a~3+3ba~2+3ab~2+b~3）=0
化简得到a+b=0,
这三个数中有一个为0.另2个互为相反数,
所以很明显对任意奇数n都有A的n次方＋B的n次方＋C的n次方＝0