题目

已知函数f（x）=x²+a，（x∈R）．
（1）对∀x₁，x₂∈R比较

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)的大小；
（2）若x∈[-1，1]时，有|f（x）|≤1，试求实数a的取值范围．

提问时间：2021-03-18

答案

（1）对∀x1，x2∈R，由12[f(x1)+f(x2)]-f(x1+x22)=14(x1−x2)2≥0，得12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)．（2）由于|f（x）|≤1，等价于-1≤f（x）≤1，等价于-1≤x2+a≤1，等价于-x2-1≤a≤-x2+1在[-1，1]上恒成立，所以...

（1）对∀x₁，x₂∈R，用作差法比较两个数的大小关系．
（2）由于|f（x）|≤1，等价于-x²-1≤a≤-x²+1在[-1，1]上恒成立，即

a≥(−x2−1)max，x∈[−1，1] a≤(−x2+1)min，x∈[−1，1]

，由此求得实数a的取值范围．

本题考点：绝对值不等式的解法；不等式比较大小．

考点点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式比较大小的方法，求二次函数在闭区间上的最值，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．