题目

已知F是抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

OA

•

OB

=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ___ ．

提问时间：2021-03-16

答案

设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x=ty+m代入y²=x，可得y²-ty-m=0，根据韦达定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，从而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-2=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y₁•y₂=-2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，
又F（

1

4

，0），
∴S_△ABO+S_△AFO=

1

2

×2×（y₁-y₂）+

1

2

×

1

4

y₁=

9

8

y₁+

2

y1

≥3
当且仅当

9

8

y₁=

2

y1

，即y₁=

4

3

时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，
故答案为：3．

先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及

OA

•

OB

=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．