题目

在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，满足S_n=ka_n+n²-n（k∈R，n∈N*）．
（Ⅰ）若k=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n-2n-1}为公比不为1的等比数列，求S_n．

提问时间：2021-03-11

答案

（1）当k=1时，S_n=a_n+n²-n，
∴S_n-1=n²-n，（n≥2），
∴S_n=（n+1）²-（n+1）=n²+n（n≥1）
∴当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n（n∈N^*）．
（ II）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=ka_n-ka_n-1+2n-2，
∴（k-1）a_n=ka_n-1-2n+2，a₁=S₁=ka₁，
若k=1，则a_n-2n-1=-1，
从而{a_n-2n-1}为公比为1的等比数列，不合题意；
若k≠1，则a₁=0，a₂=

2

1-k

，a₃=

4-6k

(1-k)2

，a₁-3=-3，a₂-5=

5k-3

1-k

，a₃-7=

-7k2+8k-3

(k-1)2

，
由题意得，(a2-5)2=（a₁-3）（a₃-7）≠0，
∴k=0或k=

3

2

，
当k=0时，S_n=n²-n，a_n=2n-2，a_n-2n-1=-3，不合题意；
当k=

3

2

时，a_n=3a_n-1-4n+4，从而a_n-2n-1=3[a_n-1-2（n-1）-1]，
∵a₁-2×1-1=-3≠0，a_n-2n-1≠0，{a_n-2n-1}为公比为3的等比数列，
∴a_n-2n-1=-3ⁿ，
∴a_n=2n-3ⁿ+1，
∴S_n=n²+2n-

3n+1

2

+

3

2

．