题目

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2 sin^2(A+B)/2+cos2C=1,a=1,b=2,（1）...
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2
sin^2(A+B)/2+cos2C=1,a=1,b=2,
（1）求角C和c
（2）若P为三角形ABC内任一点（含边界）,
点P到三边距离之和为d,设P到AB,BC的距离
分别为x,y,请用x,y表示d,并求d的取值范
围

提问时间：2021-03-01

答案

（1）sin^2(A+B)/2=sin²(π-C)/2=(1+cos C)/2
∴sin^2(A+B)/2+cos2C=1可化简为4cos²C+cosC-3=0
解得cosC=3/4或cosC=-1(舍去）
故C=arccos3/4
由余弦定理有c²=a²+b²-2abcosC=2,∴c=√2
（2）点P到AC的距离为d-(x+y)
由cosC=3/4,可得sinC=√7/4
∴S△ABC=1/2*ab*sinC=√7/4
故s△APB+S△APC+S△BPC=1/2[√2x+y+2(d-x-y)]=√7/4
故d=[(2-√2)x/2]+(y/2)+(√7/4)