题目

无理数的表示
大家知道有理数可以用P/Q很简单的表示,P、Q都是整数（Q不为0）,这种表示真的很简单,因为把所有有理数全包括在内了.不管有理数有多少,不管两个有理数之间还有无穷个有理数,这1个式子就秒***完全部.
那么实数也能简单的表示出来吗?我想大家会说超越数不行.我想问几个问题,1：P/Q的P/Q次方.这种式子,能包括一些无理数,但是否只是整系数多项式方程的根? 2.√2＋1的和在开平方,这种数又是什么?能用P/Q的P/Q次方表示出来吗?是整系数多项式方程的根吗?或者是超越数吗? 3.多项式的系数如果是无理数,或者问题2中的那种数,或者是超越数,得到的根又是什么?

提问时间：2021-03-01

答案

想法很好,我觉得有理数就是遵守纪律的孩子,而纪录就是“能表示成P/Q这种形式”回答你的问题哈,只是我的看法而已
无理数要是能表示成P/Q,那它就不是无理数了,是有理数了.我理解此处你的P是分母哈,因为你表示的不规范.
1、P/Q的P/Q次方显然是整系数多项式p^q x^p-q^q的一个根,因此形如P/Q的P/Q次方这种形式肯定是整系数多项式方程的根,但是他们不对等,后者的范围大,因为后者的根的范围是实数域R；
2、√2＋1的和再开平方还是无理数.因为如果假设它是有理数,那么它的平方还是有理数,而假设来看它的平方是√2＋1（无理数）,所以矛盾；
3、这个不好说,可以是无理数可以是有理数,举两个例子就够了.x/(π^2)-1/π,这个多项式的根是π（无理数）,x/π-1/π,它的根是1.这两个多项式的系数都是无理数.
另外你混淆了个概念.实数只分为无理数和有理数,至于超越数,那是代数里的问题,不可以和无理数混淆,也不要理解为无理数的子集